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數學題目 倍數問題（２０點）

（１）一百盞燈分別標上號碼１．２．３．４．．．１００第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下

使得每一盞燈都亮了

第二個人把標號是２的倍數的燈開關各拉一下

依此類推

直到第一百個人把標號為１００的倍數的燈開關拉一下

請問最後有幾盞燈是亮著？（２）將一個二位數重複寫兩次

得到一個四位數（如：４６重複寫兩次得到４６４６）那麼所得到的數一定是哪個質數得倍數？（３）將一個三位數重複第二次得一個六位數（如：１２３重複兩次得六位數１２３１２３）

則像這種六位數一訂有哪些質因數？請幫我解答一下　：）謝謝
（１）一百盞燈分別標上號碼１．２．３．４．．．１００第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下

使得每一盞燈都亮了

第二個人把標號是２的倍數的燈開關各拉一下

依此類推

直到第一百個人把標號為１００的倍數的燈開關拉一下

請問最後有幾盞燈是亮著？-----------------------如果要亮

開關必須被接觸奇數次(因為開

關

開

關這樣循環)----------------------------(1)任何一個開關若被接觸一定是號碼遇到「它的因數」如第4個人

把號碼為4的倍數的開關觸碰一次

換句話說4必為該號碼的因數怎樣的數它的因數個數奇數個?答案是完全平方數---------------------------(2)因為一般的數其因數為兩兩一對

因此因數個數為偶數如18=1*18=2*9=3*6---6個但完全平方數因為因數分解產生重複

故因數個數為奇數個如36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6----9個1-100共有10個平方數(1

4

9

16

25

36

49

64

81

100)由(1)(2)知答案為10個-----------------------------------（２）將一個二位數重複寫兩次

得到一個四位數（如：４６重複寫兩次得到４６４６）那麼所得到的數一定是哪個質數得倍數？若x為二位數則重複寫兩次後的值=100x x=101x101為質數故必為質數101的倍數------------------------------------（３）將一個三位數重複第二次得一個六位數（如：１２３重複兩次得六位數１２３１２３）

則像這種六位數一訂有哪些質因數？若x為三位數則重複寫兩次後的值=1000x x=1001x1001x=7*11*13*x-----------(先利用11的倍數判別法1001=11*91=11*7*13)故必有質因數7

11

13 參考資料 十多年國中數學老師的經驗
（１）先拿８號燈來看第１個人開第２個人關第４個人開第８個人關最後是暗的且１　２　４　８恰為８的正因數再拿９號燈來看第１個人開第３個人關第９個人開最後是亮的且１　３　９恰為９的正因數由此可推得：當某號燈的正因數有偶數個　則此燈最後是暗的當某號燈的正因數有奇數個　則此燈最後是亮的而有奇數個正因數的數必為完全平方數所以有１　９　１６　２５　３６　４９　６４　８１　１００共１０盞燈最後是亮的（２）假設此數為ａｂａｂ因式分解：ａｂａｂ＝１０１ｘａｂ所以此四位數必為１０１這個質數的倍數（３）假設此數為ａｂｃａｂｃ因式分解ａｂｃａｂｃ＝１００１ｘａｂｃ＝７ｘ１１ｘ１３ｘａｂｃ所以此六位數必有７　１１　１３這些質因數

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參考:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1608073111453如有不適當的文章於本部落格，請留言給我，將移除本文。謝謝！