三 角 形 的 解 法 與 向 量 1. 23 . 456

以 下 為 工 職 數 學 課 本 題 目 編者 : 丁 村 成二 、 在 △ ABC 中

a = 2 √3

b = √6

ㄥC = 105°

解 此 三 角 形 ? 此 題 已 有 計 算

麻 煩 修 正 錯 誤

詳 細 說 明 延 伸 BC 作 出 BC 邊 的 高 AD

由 題 意 知 AC = √6

BC = 2 √3

∠ACB = 105°

∠ACD = ( 180 ─ 105 )°= 75°

則 AD = AC‧sin ( 75° ) = √6 ‧[ ( √6 √2 ) / 4 ] = ( 3 √3 ) / 2 ； CD = AC‧cos ( ( 75° ) = √6 ‧[ ( √6 ─ √2 ) / 4 ] = ( 3 ─ √3 ) / 2

{ sin ( 75° ) = sin ( 45° 30° ) = sin ( 45° ) cos ( 30° ) sin ( 30° ) cos ( 45° ) = ( √6 √2 ) / 4；cos ( 75° ) = cos ( 45° 30° ) = cos ( 45° ) cos ( 30° ) sin ( 45° ) sin ( 30° ) = ( √6 ─ √2 ) / 4 。

} 則 BD = BC CD = 2 √3 ( 3 ─ √3 ) / 2 = ( 3 √3 ) / 2 ..... 應 該 是 3 3 √3 / 2 吧 ? AB = √ ( AD ^ 2 BD ^ 2 ) = √ { [ ( 3 √3 ) ^ 2 ( 3 ─ √3 ) ^ 2 ] / 4 } = √ ( 12 6 √3 ) = 3 √3 ..... 應 該 是 12 6 √3 吧 ? ∠ABC = sin ─ 1 ( AD / AB ) = sin ─ 1 ( 1 / 2 ) = 30° ..... 應 該 是 sin 3 - √3 / 12 吧 ? ∠BAC = ( 180 ─ 105 ─ 30 )° = 45° ..... 應 該 是 ( 180° ─ 105° ) ─ sin 3 ─ √3 / 12 吧 ? 5、 在 △ ABC 中

線 段 AB = √3 1

線 段 AC = 2

ㄥA = 30°

解 此 三 角 形 ? 6、 在 △ ABC 中

線 段 BC ： 線 段 CA ： 線 段 AB = 7 ： 6 ： 5

求 ( sin A / 2 ) ^ 2 ? 7、 已 知 一 矩 行 ABCD 滿 足 線 段 AB = 3 ‧ 線 段 AD

並 令 θ 為 兩 對 角 線 的 交 角

求 sin θ ? 8、 已 知 梯 形 ABCD 中

滿 足 線 段 AD 平 行 線 段 BC

線 段 AD = 4

線 段 BC = 10

線 段 AB = 5

線 段 CD = 7

求 梯 形 的 高 、 中 點 連 線 長 、 中 線 長 ? 10、 自 塔 之 正 東 地 面 上 一 點 A

測 得 塔 頂 的 仰 角 為 45°

在 塔 之 南 60° 東 地 面 上 一 點 B

測 得 塔 頂 的 仰 角 為 30°

已 知 A 與 B 相 距 250 公 尺

求 塔 高 ? 4、 在 △ ABC 中

已 知 向 量 AB = ( ─ 8

6 )

向 量 BC = ( 12

─ 3 )

求 ABC 之 周 長 ? 5、 設 向 量 a = ( ─ 1

2 )

向 量 b = ( 3

─ 4 )

求 與 3‧向 量 a 2‧ 向 量 b 平 行 的 單 位 向 量 ? 6、 在 △ ABC 中

線 段 AB = 13 、 線 段 BC = 14 、 線 段 CA = 15

且 線 段 AH 為 底 邊 線 段 BC 上 之 高 。

若 線 段 AH = x‧線 段 AB y‧線 段 AC

求 x 、 y 之 值 ?
二、在△ABC中

a=2√3=3.4641

b=√6=2.44949

ㄥC=105°

解此三角形?Cosine law: c^2=AB^2=12 6-12√2*cos105deg=18 12√2*cos75=18 12√2*√2(√3-1)/4=4.73205^2c=4.73205........Ans.where cos75°=√2(√3-1)/4=0.258819Sine laws: sinB/b=sinC/c =